L’ICM et le facteur bulle pour les NULS 
22 décembre 2011, auteur : 13salette13 (un grand merci à Maxtamines du forum Club Poker et à Head et kesteddy du forum Limpers qui ont accepté de relire cet article et de me suggérer certaines modifications)
Cet article a pour ambition d’expliquer le plus simplement possible (et avec le moins de calculs possible) les concepts de l’ICM et du facteur bulle afin que les joueurs débutants puissent avoir une idée de ces notions essentielles au poker. Mais ce texte est également à l'attention des (trop) nombreux joueurs avancés jouant au feeling sans jamais lire de livres (que ce soit par flemme ou par dégoût des notions mathématiques souvent présentes), afin qu'ils puissent, sans trop se faire mal, améliorer leurs connaissances.
Introduction :
Vous êtes à la bulle d’un satellite pour un gros tournoi. Ce satellite consiste en un Sit’n’Go et qualifie 2 joueurs pour le main-event qui vous a tant fait rêver. Il reste donc 3 joueurs et la situation est la suivante :
- Joueur 1 (Bouton) possède 5.000 et folde
- Joueur 2 (SB=1000) possède 50.000 et fait all-in
- Vous (BB=2000) possédez 45.000 et découvrez AA
Sachant que le ChipLeader (joueur 2) semble être un bon joueur qui connait les ficelles des actions à la bulle et qu’il a fait all-in probablement sans se soucier aucunement des cartes qu’il a en mains, devez-vous payer ? (à noter que dans ce cas précis c'est bien l'action optimale pour le joueur 2 de faire tapis avec n'importe quelles cartes, on pourrait le démontrer mais ce n'est pas l'objet ici)
En fonction de votre niveau au poker, de votre expérience, de votre sensibilité aux éléments mathématiques votre réponse pourra varier ainsi :
- « Oui je paye avec AA car c'est une main énorme en Hold'em, c’est infoldable et en plus ça va me permettre sûrement de doubler ce qui augmente mes chances de qualification »
- « Non je ne paye pas car si je perds je suis éliminé et le ratio bénéfice/risque est sûrement en faveur d’un fold car les 15% de fois où je vais me faire craquer mes as ne compenseront pas les 85% de fois où je vais gagner et où la bulle n’aura toujours pas éclatée »
- « Non je ne paye pas, car si on regarde bien la situation, dans très peu de temps le joueur 1 sera automatiquement all in et est maintenant pressé de toucher une main pour doubler, il va sûrement bouger et il y a des chances qu’il ait une main moyenne. Sans rien faire la bulle va sûrement éclater et je serais toujours en jeu alors que si je paye j’ai 15% de chances d’être éliminé et de repartir avec rien ».
La réponse à ce problème n’est pas une question d’expérience ou de niveau, c’est simplement un calcul qui se base sur une théorie fondamentale au poker qu’il est impossible d’ignorer si l’on souhaite passer un palier dans ce jeu.
L’ICM qu’est ce que c’est ? :
La théorie de l’ICM (Independant Chip Model) est le modèle mathématique qui permet de répondre, entre autres, à la question posée en introduction (quelle est l'action la plus profitable pour le joueur 3 ?).
Il ne sera pas question ici de calculs qu’on pourra toujours trouver dans des ouvrages de références (en français on trouve l’excellent Kill Elky qui traite le sujet de façon très détaillée ou encore Poker Sit-n-Go de Jean-Paul Renoux qui détaille également les calculs). On trouvera également une kyrielle d'articles sur internet sur la plupart des forums de poker.
Cette théorie part du principe fondamental suivant :
les chances d’un joueur de gagner un tournoi sont égales à la proportion des jetons qu’il détient. Par exemple, un joueur qui détient 50% des jetons possède, selon cette théorie, 50% de chances de gagner le tournoi. Dans l’exemple sur les AA, le joueur 2 possède 50% de chances de gagner le Sit-n-Go (bien que dans notre exemple cela n’ait pas réellement d’importance de le gagner puisque ça permet de gagner un ticket comme celui qui finit 2ème).
De ce principe fondamental, découlent les chances de chacun de gagner, de faire 2ème, de faire 3ème, etc… [les calculs se font en cascade et ce n’est pas l’objectif ici de les détailler].
Selon la théorie de l’ICM, on sait calculer à chaque moment la probabilité de chaque joueur d’atteindre une place donnée à la fin du tournoi et en conséquence de remporter un certain gain financier (puisqu’on sait généralement quel gain correspond à chacune des places finales). On sait donc à tout moment du tournoi, quel est le gain moyen potentiel de chaque joueur avec son stack (en fonction des stacks respectifs des joueurs en jeu). Ce gain moyen potentiel est finalement la valeur de son siège à ce moment là, il pourrait revendre sa place à quelqu’un à ce prix équitable. Cette valeur (de revente de son stack) est appelée "
l'équité".
Ainsi, si le buy-in du main event que vous essayez d’atteindre est de 10.000$, on peut montrer qu’à ce moment précis du tournoi (avant la main présentée dans l’introduction) votre stack vaut 9.237$. Si à ce moment précis du tournoi quelqu’un vient vous dire qu’il vous donne 9.000$ contre votre siège, il essaye de vous escroquer.
Pour revenir à nos As, comment savoir si c’est rentable de payer la boîte du joueur 2 ? Le calcul ICM (sa basant uniquement sur la théorie fondamentale «
les chances d’un joueur de gagner un tournoi sont égales à la proportion des jetons qu’il détient ») nous permet d’obtenir les résultats suivants :
- Avant la main présentée en introduction, nous avons 45,0% de chances de finir 1er et 47,4% de chances de finir 2ème et donc 7,6% de chances de sauter à la bulle. On a vu plus haut que notre siège possède la valeur théorique de 9.237$ à ce moment là.
Pour savoir s’il faut payer avec nos As, il « suffit » de calculer combien vaudra notre siège à la fin de la main en fonction des résultats qui peuvent arriver.
- Si on folde, c’est assez simple, notre nouveau stack sera amputé de la BB et il nous restera 43.000 jetons. Le joueur 2 gagnera notre BB et aura donc 52.000 jetons. Le joueur 1 ne bouge pas (5.000 jetons). Avec cette nouvelle répartition des stacks, on sait calculer nos chances d’être premier, second, troisième (résultat : 43,0% / 48,8% / 8,2%). Et ainsi on peut calculer combien « vaut » notre stack si nous décidions de vendre notre siège à ce moment précis : 9.185$ [on voit que notre place vaut moins cher qu’avant ce qui paraît logique puisqu’on s’est fait voler notre BB, mais on n’a pas perdu grand chose du tout].
- Il nous reste 1 opération à réaliser : calculer ce que vaut notre siège si on call et qu’on gagne et évaluer notre probabilité que cela arrive [ceux qui ont pensé calculer la valeur de notre siège si on call et qu’on perd n’ont pas tout suivi puisqu’alors on serait éliminé 3ème et que notre siège ne vaudrait plus rien du tout à ce moment là]. Donc, si on call et qu’on gagne, notre tapis va passer à 90.000 (double-up) et le stack du joueur 2 va passer à 5.000. Après cette belle opération, nos nouvelles probabilités (données par l’ICM) de gagner, de finir 2ème etc… sont de 90,0% / 9,5% / 0,5%, ce qui donne à notre siège une nouvelle valeur de 9.947$, autrement dit cela nous assure pratiquement la qualification.
Pour savoir si le call est profitable, à ce moment là il faut savoir dans quelle proportion on va gagner le coup et dans quelle proportion on va le perdre.
On peut montrer qu’AA possède 85,2% de gagner contre une main totalement aléatoire (ce qu'on considère être le cas ici puisqu'on a dit au départ que le joueur 2 ne s'est probablement pas soucié de ses cartes). Donc dans 85,2% des cas, le siège vaudra 9.947$ et dans 14,8% des cas (en cas de bad beat qui arrive donc plus d’une fois sur sept) il vaudra zéro. Donc sans connaître le résultat du coup, si on refait le coup 1 million de fois, en moyenne, notre siège après le coup vaudra ... 8.475$.
1ère conclusion :
Notre siège se négociera nettement moins cher
en moyenne si on call avec les AA (8.475$) que si on folde les AA (9.185$) => Dans notre exemple il faut folder les AA ! (par bonheur les cas de fold des AA préflop sont extrêmement rares, néanmoins cela est arrivé à un ami à moi lors d'un satellite online pour le WPT d'Amnéville, cet ami à pris la décision de folder les AA préflop, ce qui d'après les calculs faits par la suite, se révélait la bonne décision, et d'ailleurs il a fini par gagner son ticket).
2ème conclusion :
On se rend compte, au travers de cet exemple extrême, que jouer une main sans prendre en compte la situation globale de la partie est une grave erreur puisque même la meilleure main preflop du Holdem (AA) doit parfois être profitablement jetée.
Ces situations de décalage entre la force d’une main et la façon optimale de la jouer ne se rencontrent qu’en tournoi (le cash game n’est pas concerné puisque chaque main est totalement indépendante des autres et qu’il n’y a pas de structure de gains qui déforme la façon dont doit être jouée chaque main, jeter AA préflop en CG n'est jamais la décision optimale).
3ème conclusion :
Il y a un gros décalage entre l'action optimale en cash-game et l'action optimale en tournoi. En cash-game, il suffit d'avoir au moins une côte qui offre une espérance neutre en jetons (à long terme les gains et les pertes vont s'équilibrer) pour payer. En tournoi, on voit que ce n'est pas le cas puisqu'on arrive à avoir une espérance positive en jetons (si on paye avec nos AA on va gagner 85% des fois 45.000 jetons et perdre 15% des fois 43.000, donc sur le long-terme on sera en moyenne bénéficiaire de 31.800 jetons) et une espérance négative en argent (perte moyenne de 710$ à long terme). Ce décalage se quantifie et s'appelle
le facteur-bulle. Plus il est élevé et plus le décalage est important, plus il est faible (et se rapproche de 1) et plus le décalage est faible (et le jeu optimal se rapprochera du jeu optimal en cash-game).
Généralisation :
Bien entendu, l'ICM et par extension, le facteur bulle, ne s'appliquent pas uniquement dans la situation extrême dont on vient de dérouler un exemple.
Ils s'appliquent pour chaque main d'un tournoi. Néanmoins, cette théorie prend tout son sens à l'approche de la bulle et continue d'avoir une importance considérable à l'approche de chaque palier de gain jusqu'à ce qu'il ne reste plus que 2 joueurs. Plus le palier est important (en part relative) et plus ces notions prennent une importance capitale. Plus le profil de distribution des gains est violent (en gagnant quelques places le gain augmente énormément) et plus la prise en compte de cet effet est importante.
Pour bien comprendre
la conséquence, cela implique qu'il vous faudra, dans certains cas, exagérer les côtes que vous connaissez. Si on vous fait tapis et que vous savez que vous avez 36% de toucher votre tirage et de remporter le coup et que vous basez toute votre décision sur cette côte : vous êtes souvent dans l'erreur. Il vous faudra souvent plutôt considérer que vous avez plutôt par exemple 20% ou 25% de chances de toucher pour prendre la décision optimale.
En tournoi il faut être pessimiste sur les call de tapis notamment lorsque le joueur en face vous couvre. Par contre puisque votre adversaire est sensé lui aussi être pessimiste sur les call de tapis,
vous pouvez être optimistes sur les envois de tapis (puisqu'il va rarement payer, voire jamais dans le cas extrême étudié plus haut). Ce pessimisme (à payer un tapis) doit être d'autant plus accru que votre adversaire vous couvre, et à l'inverse cet optimisme (à envoyer votre tapis) beaucoup plus important que vous couvrez votre adversaire. Par exemple à l'approche de la bulle si le chipleader de la table envoie son tapis à tout-va, il vous faudra une main très nettement au dessus de la moyenne pour payer alors que si vous même êtes le chipleader et que vous faites face à un all-in d'un short maniaque, vous pourrez probablement payer un peu plus souvent (mais pas trop quand même comme on le voit souvent). A l'inverse, si vous êtes le chipleader, envoyer votre tapis préflop avec une large range se justifie plus souvent que si vous êtes shortstack. Toutes ces "déviations" de comportements pour arriver à la décision optimale (par rapport à la même décision en cash game) se démontrent en partie grâce à la théorie de l'ICM.
Ainsi, un facteur bulle élevé pour un joueur dans une situation donnée implique pour lui de redoubler de prudence. Plus on approche d'un palier de gain (et notamment de la bulle, mais c'est vrai aussi pour les paliers importants notamment en table finale) et plus le facteur bulle est élevé (et donc plus la distorsion entre les côtes en cash-game et les côtes en tournoi est importante). Plus l'adversaire vous couvre et plus le facteur bulle est élevé. Plus on a un gros stack et plus l'adversaire qui nous attaque a un gros stack lui aussi et plus le facteur bulle est élevé : payer le tapis du chipleader qui envoie avec any-two sous prétexte qu'on a une main au dessus de la moyenne alors qu'on est 2nd en stack à l'approche de la table finale est très souvent une grosse erreur : à ce moment là le facteur bulle est très élevé.
Cette théorie nous donne également une information fondamentale :
sur une main à la bulle, le bénéfice maximal est généralement réalisé par celui qui ne bouge pas. Autrement dit, le joueur qui ne rentre pas dans le coup voit généralement son espérance de gain augmenter (ceci étant discutable selon les blinds et antés). Encore dit de façon différente : lorsqu'on est près de la bulle, il faut un gros avantage sur l'adversaire pour accepter de risquer son tapis car non seulement on risque de se pénaliser si l'avantage n'est pas suffisant, mais en plus on fait le jeu de ceux qui attendent (à ce moment là tout le monde croise les doigts pour une grosse confrontation entre 2 joueurs car chacun sait que ça lui profite).
Bien entendu, ces "déformations" des comportements optimaux sont généralement assez fins et il s'agit le plus souvent d'adaptations légères de ses ranges en fonction de la situation. Au 2nd degré de réflexion, il s'agit également d'adapter son comportement à l'adaptation réalisée par son adversaire. Ainsi, face à un adversaire qui est parfaitement conscient de ces facteurs mathématiques, et qui donc adapte son comportement (en ouvrant sa range pour attaquer par exemple), il faudra également adapter sa range pour défendre (et donc pas forcément la rétrécir trop comme pourrait nous le dicter le seul facteur bulle). De la même façon, il faudra faire attention à ne pas attaquer trop light un adversaire qui n'a pas conscience de ces éléments et qui ne s'adapte pas à la situation et qui risque de défendre avec une range trop large. Tout est question d'équilibre subtil.
Cette théorie a-t-elle un rapport avec le fait que les grands joueurs profitent de la bulle pour monter leur stack ? Les joueurs avertis profitent de cette période pour attaquer car ils profitent d'une
exagération naturelle des joueurs du principe que l'on vient de décrire. Autrement dit, ils savent que même avec une belle main, au moment de la bulle, la tendance naturelle des joueurs sera d'envisager uniquement le pire et ceux-ci se mettent à faire des fold horribles à ce moment là. Si dans un gros tournoi MTT classique, un gros stack relance pour la 10ème fois d'affilée pour 1/3 de votre tapis et que vous avez JJ en main à la bulle avec un stack moyen, allez vous le défier ? Faites vous les calculs ? Ne vous dites vous pas "arf, j'attends encore 2 minutes et je suis payé, autant oublier mes JJ" quand bien même vous savez très bien être très largement au dessus de sa range ? C'est de ça que profitent les bons joueurs à la bulle, alors qu'il serait pourtant peut être profitable pour vous d'accepter le risque de sauter à la bulle pour pouvoir nettement augmenter vos chances de gagner un lot important : les bons joueurs profitent du comportement beaucoup trop weak des adversaires les moins expérimentés à l'approche des paliers importants. Pour le savoir il faut faire les calculs qui découlent de cette théorie, et comme c'est impossible pendant le jeu, il faut essayer de bien se familiariser avec ce principe pour toujours prendre une bonne décision et
arrêter de se faire martyriser de façon indécente à la bulle (ou tout au moins savoir que l'on est martyrisé, car parfois on ne peut pas se défendre, mais que nos décisions de l'accepter soient justes), voire de devenir celui qui martyrise.
On le voit, ce que nous apprennent les théories sur l'ICM et le facteur bulle est que l'avantage dont on a besoin à la fin d'un tournoi (quand on monte dans la hiérarchie des places payées) est soit un avantage au niveau des cartes (un très gros jeu pour que les rares bad beat qui nous verront sauter au mauvais moment soient largement compensés par les cas fréquents où notre stack va prendre de l'ampleur et viser des places élevées dans la hiérarchie des gains), soit au niveau de la capacité d'empêcher les autres de venir vous défier : vous mettez vos jetons au milieu et vous attendez de voir si un adversaire va avoir le courage de risquer de sauter au mauvais moment.
La théorie de l'ICM et du facteur bulle et le comportement tight-weak qui en découle consciemment ou non chez beaucoup de joueurs, permettent d'expliquer la tendance moderne des joueurs de haut niveau à prendre énormément de risques pour monter un gros stack avant l'arrivée de la bulle car ils vont l'utiliser comme effet de levier. Ils savent qu'ainsi ils pourront profiter de ce stack pour martyriser la bulle – chaque jeton gagné en amont de la bulle va leur rapporter des jetons supplémentaires au moment de la bulle - (puisque le principe du facteur bulle et parfois son exagération va s'imposer dans le comportement de leurs adversaires) et ainsi devenir monstrueux et se donner une chance d'aller à la victoire (sachant que s'ils jouent 50 WPT dans leur vie, il savent qu'il vaut mieux gagner 1 fois et sauter 49 fois au premier niveau que de faire 25 ITM de justesse).
On notera par ailleurs que cette théorie fait l'objet (dans ses grands principes) d'un consensus de la part des principaux théoriciens du poker. Quelques détails sont discutables, comme la position par rapport au blinds (puisque ce n'est pas la même situation si un joueur très short va payer la BB à la main suivante ou s'il a 8 mains sans blinds) et le niveau de celles-ci, mais aussi le différentiel de niveau des joueurs (un joueur très supérieur aux autres aura une équité sous-estimée par l'ICM, à l'inverse un donk-fish dans un field de sharks possède une équité très surestimée), mais ces discussions ne sont pas l'objet de cet article.
Bien comprendre ces principes fondamentaux dont on vient de voir une approche est absolument essentiel pour pouvoir jouer un poker efficace et gagnant.
Annexe :
comment savoir intuitivement quand le facteur bulle est élevé ?
Prenons l'exemple de l'EPT de Deauville 2011. Voici l'échelle de gain proposée par les organisateurs (128 payés pour 891 entrants).
On observe tout d'abord que la bulle se situe entre le 129ème et le 128ème. Lorsqu'il reste 129 joueurs (le tournoi se joue en main par main à ce moment là) les facteurs bulles sont assez importants (l'écart entre 0€ et 7.500€ est un palier important à ce moment du tournoi) et rares seront les confrontations entre 2 gros tapis. A cet instant, le premier qui dégaine gagnera assez souvent les blinds surtout s'il s'agit d'un gros tapis puisque tous les joueurs à parler derrière prennent un risque important dans la confrontation. A ce moment un 3-bet d'un gros tapis sur un tapis moyen aura toutes les chances d'obtenir un insta-fold du premier relanceur qui devra avoir de sérieuses raisons de venir défier le gros stack (d'où la tendance à abuser de ce genre de move de la part des gros stacks ayant une bonne maîtrise de ces moments particuliers en tournoi).
Dès que la bulle a sauté, le facteur bulle subit une chute et l'exagération inverse va souvent se produire chez certains joueurs libérés du poids de la bulle : ils vont parfois s'envoyer de façon un peu trop large. Les paliers suivants ne sont pas très significatifs et ne confèrent certainement pas des facteurs-bulles élevés (passer une belle main pour être certain de passer le palier entre 15.000€ à 17.000€ est très certainement une erreur puisque épargner 2.000€ de plus empêchera souvent le joueur qui prend cette décision d'aller nettement plus haut et ce comportement tight-weak lui fera finalement perdre de l'argent à long terme en ne voulant pas risquer 2.000€ pour en gagner 10 ou 50 fois plus de temps en temps).
En regardant à la fois les valeurs de paliers et les ratios entre chaque palier, on constate qu'il existe un palier subitement très important entre le 8ème et la 7ème place. A ce moment là, gagner une place permet d'augmenter de +65% son gain garanti en passant de 66,8k€ à 110k€. Sauter 8ème est donc une très mauvaise opération. Le bubble factor atteint très probablement des valeurs élevées ici à 8 joueurs restants. A cet instant, une confrontation entre deux gros stacks sera très rare et particulièrement dévastatrice en termes d'EV pour le perdant du coup.
On le voit, l'analyse de l'échelle de gain pour en permanence savoir si on peut prendre des risques importants ou non, est une étape à ne pas négliger lorsqu'on rentre dans l'argent d'un tournoi. Tout ceci est étroitement lié à la théorie de l'ICM et peut se démontrer grâce à elle.
N'hésitez pas à mettre un commentaire, apporter des précisions, donner un avis, poser des questions, enfin bref, c'est aussi une discussion ! 
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