Independant Chip Model (Part I)

Independant Chip Model (Part I)

Derrière ce nom barbare (ICM pour les intimes) se cache un modèle qui permet de déterminer la probabilité qu'un joueur finisse à une place donnée en tournoi.
Ce modèle ne prend en compte que les stacks des joueurs. Il est donc totalement indépendant du niveau de chaque joueur (niveau global ou ponctuel).

Je vais dans un premier temps vous présenter le modèle. Un deuxième billet sur les applications pratiques viendra ensuite.

1.1. Finir premier

L'axiome de départ est que chaque joueur a une chance de finir premier proportionnelle au nombre de ses jetons.
Ainsi, si le joueur A a un stack de 50 000 jetons, joueur B un stack de 30 000 jetons et joueur C un stack de 20 000, ces joueurs ont une probabilité respective de finir premier de 50%, 30% et 20%.

1.2. Finir second

Une fois cette base posée, pour calculer la probabilité qu'un joueur J1 finisse 2nd, on procède de la façon suivante :
On suppose que le joueur J2 fini premier (on sait combien de fois cela arrivera, puisqu'on l'a calculé en 1.1) et on recommence l'étape 1 pour la deuxième place.
On fait ce calcul pour chaque joueur différent de J1 et en pondérant par les probabilités trouvées en 1.1, on a la probabilité que le joueur J1 finisse second.

1.3. Finir nième

On a ici un calcul récursif. Il faut connaître la probabilité de tous les joueurs d'arriver au rang n-1 pour calculer la probabilité des joueurs d'arriver au rang n.
Je ne vais pas vous sortir la formule qui est assez longue est n'apporte rien de toutes façons (c'est essentiellement du dénombrement).

Au passage, des tonnes de sites proposent des calculateurs en ligne (peut-être aussi à télecharger, je n'ai pas vraiment cherché):
icm calculator - Recherche Google

1.4. Résultat

Au final, on obtient un tableau qui ressemble à ça :

Joueur	Stack	1er	2eme	3eme
Joueur 1	50 000	50%	33%	15%
Joueur 2	5 000	5%	8%	17%
Joueur 3	30 000	30%	37%	26%
Joueur 4	15 000	15%	22%	42%

On peut lire, sur ce tableau : Le joueur 3 a 30.000 de stack. Il a 30% de chances de finir 1er, 37% de chances de finir 2eme ...

2.1. Espérance de gain globale

A chaque instant - je ne parle pas de décisions à prendre, mais d'états figés des stacks, hors d'une main - on peut connaître l'espérance de gain d'un joueur dans le tournoi. Pour cela, il suffit de connaître la répartition du prize pool et de l'appliquer au tableau donné par l'ICM.
Reprenons l'exemple du 1.4 et supposons une répartition 50% / 30% / 20% du prize pool.
Notre joueur 3 a
30% de finir 1er (30% * 50%)
+ 37% de finir 2ème (37% * 30%)
+ 26% de finir 3ème (26% * 20%)
Le joueur 3 a donc une espérance de gain de 31,3% du prize pool.

2.2. La valeur des jetons

En tournoi, il y a une différence de valeur entre les jetons :
Les jetons d'un joueur short stack valent beaucoup plus que la même quantité de jetons d'un joueur deep.
On continue avec notre exemple.
Le joueur 1 a une espérance de gain de 38% du prize pool.
Le joueur 2 a une espérance de gain de 8% du prize pool.
Il gagne donc 4,75 fois moins que le joueur 1 en ayant 10 fois moins de jetons.
Chacun de ses jetons vaut donc environ 2 fois plus que ceux du joueur 1 !


to be continued ...